Основные виды графов. Методическая разработка на тему "Графы. Методы решения задач" Решение графов

Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых – графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы – теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается разработка занятия “Понятие графа. Применение графов к решению задач” в 6 классе).

2. Теоретический материал к теме “Графы”.

Введение

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Понятие графа

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами . Точки при этом называются вершинами , а линии – ребрами графа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными .

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным . Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема : Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Связность графа

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство : Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5 . В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Графы Эйлера

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема : Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:

При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 . 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение . Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство . Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

«Ещё один увлекательный способ решения задач» (метод графов) Автор: Пыркова Мария, обучающаяся 7 класса школы-интерната № 9 ОАО РЖД г. Кинель Самарской области Руководитель: Степанова Ольга Алексеевна, учитель математики высшей категории. г. Кинель, 2015

Актуальность решающая роль задач в обучении математике; введение в школьный курс разделов «Комбинаторика», «Логика», «Вероятность»; отыскание способов решения нестандартных задач.

Цель исследования: изучить понятие «графа» и его элементов; применять при решении различных типов задач.

Объект исследования: граф ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ история математики, виды задач, способы решения задач.

Основные методы исследования: исследовательский; использование на практике. компьютерная обработка данных; классификация и анализ собранного материала; математический отбор.

Математическое понятие «граф». В математике графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами. нулевой граф неполный граф. полный граф.

Сфера применения графов

Практическая часть

Алгоритм составления графа Обсудить о каком процессе идет речь? Какие величины характеризуют данный процесс? Каким соотношением связаны эти величины? Сколько процессов описывается в задаче? Есть ли связь между элементами? Если ответы на эти вопросы записывать схематически, то эта схема и будет сетевым графом.

«Сколько у тебя в стаде голов скота?» Н а вопрос путника: - пастух ответил: «Если бы к моему стаду добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Сколько голов скота было в стаде? Решение: Составим граф по условию задачи. Решаем обратно. Ответ: в стаде 59 голов скота.

Задачи на движение. Машина прошла первый участок пути за 3 часа, а второй участок - за 2 часа. Длина обоих участков вместе 267 км. С какой скоростью шла машина на каждом участке, если скорость на втором участке была на 8,5 км/ч больше, чем на первом? Построим сетевой граф. Пусть V 1 = х км/ч, тогда V 2 = х+ 8,5 км/ч, S 1 = 3х км, S 2 = 2(х+8.5)км Составим уравнение: 3х + 2(х+8,5) = 267 Ответ: 50 км/ч

Комбинаторные задачи. Задача «Что выше?» На пришкольном участке растут 8 деревьев: яблоня, тополь, береза, рябина, дуб, клен, лиственница и сосна. Рябина выше лиственницы, яблоня выше клена, дуб ниже березы, но выше сосны, сосна выше рябины, береза ниже тополя, а лиственница выше яблони. Расположите деревья от самого низкого к самому высокому. Ответ: клен самое низкое дерево.

Опрос одноклассников

Заключение «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.» (А.Н. Крылов) Графы – это замечательные математические объекты, с помощью которых можно решать математические, экономические и логические задачи. Графы позволяют наглядно представить условие задачи, держать в памяти многочисленные факты, а значить, значительно упростить её решение. Вызывает интерес к изучению математики и получению хороших результатов.

Список литературы Энциклопедический словарь юного математика. \Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989 Квант №6 1994г. М. Гарднер «Математические досуги» М.: Мир, 1972 Берж К. Теория графов и ее применение. ИЛ, 1962. Математика, учебник для 5 кл. / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.-М:Просвещение, 2011 Математика, учебник для 6 кл. / Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов и др.-М:Просвещение, 2011 Алгебра: учебник для 7 кл. / Ю.Н.Макарычев и др., под редакцией С.А.Теляковского.-М.:Просвещение,2011 Элективные курсы «Решение задач с помощью графов»/ авт.-сост.Л.Н.Харламова. - Волгоград: Учитель,2007 .

Спасибо за внимание!

Тема графов — это интересная, полезная и пугающая тема. Теория графов — "Ужас студента". Алгоритмы на графах — потрясающий ум людей их открывших.

Что такое граф? Чтобы ответить на этот вопрос своим читателям, я буду описывать тему немного по-своему.
Граф — это множество объектов.
В большинстве задач это однотипные объекты. (Множество городов или множество домов, или множество людей, или множество чего-то ещё однотипного)

Чтобы решать задачи с таким множеством, нужно каждый объект из этого множества обозначить как что-то. Общепринято это самое что-то называть вершинами графа.

Описывать графы и основные определения удобно рисунками, поэтому для чтения этой страницы рисунки должны быть включены.

Как я и писал ранее — граф это какое-то множество объектов. Эти объекты обычно однотипны. Проще всего приводить пример на городах. Каждый из нас знает, что такое город и что такое дорога. Каждый из нас знает, что к городу могут быть дороги, а могут и не быть. В общем, любое множество объектов можно охарактеризовать как граф.

Если говорить о графе как о городах, то между городами могут быть проложены дороги, а может быть где-то разрушена, не построена, или же город вообще находится на острове, моста нет, а интересуют только дороги с твердым покрытием. Несмотря на то, что дороги к такому городу нет, этот город может быть включен во множество анализируемых объектов, и все объекты вместе взятые составляют совокупность объектов или проще говоря — граф.

Наверняка вы читали учебники и видели такую запись G(V,E) или что-то похожее. Так вот, V — это какой-то один объект из всего множества объектов. В нашем случае множество объектов — это города, следовательно, V — это какой-то определенный город. Так как объекты не обязательно города, а слово объект может запутать, то такой объект из множества можно называть точкой, пунктом, как-то еще, но чаще всего его называют вершиной графа и обозначают буквой V.
В программировании это обычно или столбец или строка двумерного массива, где массив называется или матрицей смежности или матрицей инцендентности.

В литературе, в интернете и вообще везде, где что-то написано о графах, вы будете встречать такие понятия, как дуги и ребра. На этом рисунке изображены ребра графа. Т.е. это три ребра Е1, Е2 и Е3.

Дуга и ребро отличаются тем, что ребро — это такая двунаправленная связь. Захотел, ушел к соседу, захотел, вернулся от соседа. Если не очень понятно, то можно представить дом, аэродром, летящий самолет и парашютиста. Парашютист может пойти из своего дома на аэродром, но когда пришел на аэродром, вспомнить, что свой счастливый парашют забыл дома, затем вернуться домой, взять парашют. — Такая дорога, по которой можно гулять туда и обратно, называется ребром.
Если парашютист находится в самолете и прыгает с самолета, но парашютист забыл в самолете надеть свой счастливый парашют, то сможет ли парашютист забрать что забыл? Такой путь, который идет только в одну сторону, называется дугой. Обычно говорят, что ребро соединяет две вершины, а дуга идет из одной вершины в другую.

На этом рисунке у графа одни только дуги. Дуги на графе обозначают стрелочками, потому как так ясно доступное направление. Если граф состоит из одних таких дуг, то такой граф называется ориентированным.

Вы часто будете встречать понятия смежности и инцендентности. На рисунке красным цветом отмечены два ребра, которые идут в одну точку. Такие ребра, как и вышеописанные вершины, тоже называются смежными.

Многое не описано, но эта часть информации может быть кому-то поможет.

ГРАФЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Методическая разработка

Учитель Синявина Надежда Васильевна

Задачи, приводящие к графам

1. Женя, Дима, Максим и Але­ша сыграли между собой по одной партии в шахматы. Сколько всего партий было сыграно?

Решение:

Женя сыграл партию с Димой, партию с Максимом и партию с Алешей - всего три партии. Дима также сыграл три партии - с Женей, Максимом и Алешей. Но партию Димы с Женей мы уже посчитали. Остается добавить одну партию, которую сыграли Максим с Алешей. Поэтому искомое число партий равно значению выражения 3+2+1.

Проще решить эту задачу с помощью рисунка.

Каждая линия обозначает сыгранную партию. Всего на схеме 6 линий, значит всего сыграно 6 партий.

2. Вася, Коля, Петя, Аня и Наташа - луч­шие лыжники в пятом классе. Для уча­стия в соревнованиях нужно выбрать из них одного мальчика и одну девоч­ку. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Эту задачу можно решить с помощью следующей схемы.

Ответ: 6 способов.

3. Пятеро ученых, участвовавших в научной конференции, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

На прощание эти ученые обменялись визитными карточками. Сколько карточек было передано из рук в руки?

Решение:

Ответ: 10 рукопожатий, 20 визитных карточек.

4. Как вы помните, охотник за мертвыми душами Павел Иванович Чичиков побывал у известных вам помещиков по одному разу у каждого. Он посещал их в следующем порядке: Ма­нилова, Коробочку, Ноздрева, Собакевича, Плюшкина, Тентетникова, генерала Бетрищева, Петуха, Констанжогло, полковника Кошкарева. Найдена схема, на которой Чичиков набросал взаим­ное расположение имений и проселочных дорог, соединяющих их (рис. 1.1). Установите, какое имение кому принадлежит, если ни по одной из дорог Чичиков не проезжал более одного раза.

Решение. По схеме видно, что путешествие Чичиков начал с имения Е, а кончил имением О. Замечаем, что в имения В и С ведут только по две дороги, поэтому по этим дорогам Чичиков дол­жен был проехать. Отметим их жирной линией. Опреде­лены участки маршрута, проходящие через А: АС и АВ. По дорогам АЕ, АК и AM Чичиков не ездил. Перечеркнем их (рис. 1.2К Отметим жирной линией ED ; перечеркнем DK . Перечеркнем МО И МН отметим жирной линией М F ; перечеркнем FO ; отметим жирной линией FH , НК и КО . Найдем единственно возможный при данном условии маршрут.

Подведем первый итог: задача решена в ходе преобразования картинки. С рисунка остается только считать ответ: имение Е принадлежит Манилову, D - Коробочке, С - Ноздреву, А - Собакевичу, В - Плюшкину, М - Тентетникову, F - Бетрищеву, Н - Петуху, К - Констанжогло, О - Кошкареву.

Основные понятия теории графов

Граф представляет собой непустое множество точек и множе­ство отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множе­ству точек. Обозначать граф будем буквой Г.

Точки иначе называют вершинами, отрезки - ребрами графа.

Вершины, которые не принадлежат ни одному ребру, называются изолированными.

На следующем рисунке одна изолированная вершина.

Граф называется полным , если каждые две различные вершины его соединены одним и только одним ребром.

Дополнением графа Г называется граф Гс теми же вершинами, что и граф Г, и с теми и только теми ребрами, которые необходимо добавить к графу Г, чтобы получился полный граф.

Степенью вершины называется число ребер графа, которым принадлежит эта вершина.

Вершина называется нечетной, если ее степень - число нечетное. Вершина называется четной, если ее степень - число четное.

Путем от А 1 до А n в графе называется такая последовательность ребер ведущая от А 1 до А n , в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза.

Циклом называется путь, в котором совпадают его начальная и конечная вершины.

Длиной пути называется число ребер этого пути.

Длиной цикла называется число ребер в этом цикле.

Две вершины А и В графа называются связными , если в графе существует путь с концами А и В.

Две вершины графа называются несвязными , если в графе не существует ни одного пути, связывающего их.

В графе вершины А и В - связные, а вершины А и Н - несвязные.

Граф называется связным , если каждые две вершины его связные.

Граф называется несвязным , если хотя бы две вершины его не­связные.

Деревом называется всякий связный граф, не имеющий циклов.

Вершина дерева, степень которой равна единице, называется висячей вершиной (на рисунке висячие вершины выдел закрашенными кружками).

Лесом называется несвязный граф, представляющий объединение деревьев.

Решение задач с помощью графов

Задача 1. Утверждают, что в одной компании из пяти человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими. Возможна ли такая компания?

Решение. Каждого из этой компании изобразим на рисунке кружком. Если двое знакомы, соединим соответствующие кружки отрезком. Оказывается, что такие ситуации не только возможны, но все их можно описать аналогичными схемами. Из рассматриваемой компании нельзя выделить ни «четырехугольник», ни «треугольник», поскольку тогда из оставшихся нельзя будет составить компанию, удовлетворяющую условию, т. е. схема знакомства единственная.

Задача2. Девять шахматистов проводят турнир в один круг (каждый из участников должен сыграть с каждым из осталь­ных по одному разу). Покажите, что в любой момент найдутся двое, закончившие одинаковое число партий.

Решение. Переведем условие задачи на язык графов. Каждому из шахматистов поставим в соответствие вершину графа, соединим ребрами попарно вершины, соответствующие шахматистам, уже сыгравшим между собой партию. Получим граф с девятью вер­шинами. Степени его вершин равняются числу партий, сыгранных соответствующими игроками. Покажем, что во всяком графе с девятью вершинами всегда найдутся хотя бы две вершины одинаковой степени.

Каждая вершина графа с девятью вершинами может иметь степень, равную 0, 1, 2,…,7, 8. Предположим, что существует граф Г, все вершины которого имеют разную степень, т. е. каждое из чисел последовательности 0, 1, 2 7, 8 является степенью одной и только одной из его вершин. Но этого не может быть. Действитель­но, если в графе есть вершина А степени 0, то в нем не найдется вер­шина В со степенью 8, так как эта вершина В должна быть соединена ребрами со всеми остальными вершинами графа, в том числе и с А. Иначе говоря, в графе с девятью вершинами не могут быть одновременно вершины степени 0 и 8. Следовательно, найдутся хотя бы две вершины, степени которых равны между собой.

Вернемся к задаче. Доказано, что в любой момент найдутся хотя бы двое, сыгравшие одинаковое число партий.

Задача 3. Может ли так случиться, что в одной компании из шести человек каждый знаком с двумя и только с двумя другими?

Решение.

Участника этой компании изобразим вершиной графа, а отношение знакомства между двумя участниками - ребром. Изобразим графы, которые могут соответствовать такой компании.

Итак, ситуация, рассмотренная в задаче, вполне возможна. Но случай, рассмотренный на втором рисунке, соответствует не одной, а двум компаниям, участники одной из них не знакомы с участниками другой.

Граф, изображенный на первом рисунке связный, так как из каждой вершины по ребрам можно попасть в любую другую. Делаем вывод, что в этом случае каждый через своих знакомых может познакомиться со всеми остальными.

Во втором случае получились два простых цикла, не сцеплен­ные между собой в вершинах.

Задача 4. Кубок по настольному теннису разыгрывается по олимпийской системе. Встречи проводятся без ничьих. К очередному туру допускаетсятолько победившая в предыдущем туре команда. Проигравшие выбывают из игры. Для завоевания кубка команда должна победить во всех турах.

На участие в розыгрыше кубка поданы заявки от 16 команд. Схема проведения игр изображается графом на рисунке.

Вершины нижнего «яруса» дерева (закрашенные) интерпретируем как команды, участвующие в розыгрыше кубка, вершины второго снизу яруса - как команды-победительницы в одной шестнадцатой финала, вершины третьего яруса - как команды победительницы в одной восьмой финала и т.д.

Какую информацию можно получить с помощью этого дерева?

Непосредственно с него считываются:

число всех участников розыгрыша кубка (число закрашенных вершин);

число этапов проведения розыгрыша (число ярусов из вершин в дереве не считая нижнего);

число команд, участвовавших в одной восьмой финала, в одной четвертой финала, в одной второй финала (число вершин соответственно в четвертом сверху ярусе, в третьем сверху ярусе, во втором сверху ярусе);

число матчей, которые придется сыграть командам для выявления обладателя кубка (число незакрашенных вершин в графе). Кстати, это число легко определяется и без дерева. (В каждом матче выбывает одна команда. Для того чтобы была выявлена команда-победительница остальные должны выбыть из соревнования. Поэтому число матчей равно числу команд без одной, а именно 15.)

Задача 5. Вершины графа обозначают населенные пункты, ребра – дороги. Сколькими способами можно выбрать путь из А в С? Сколькими способами можно доехать из А в С, затем вернуться обратно, если нельзя проезжать дважды по одной и той же дороге?

Решение:

5 · 3=15 способами можно выбрать путь из А в С.

5 · 3 · 2 ·4 =120 способами можно доехать из А в С, затем вернуться обратно, если нельзя проезжать дважды по одной и той же дороге.

Задача 6. На гору ведут 5 дорог. Сколькими способами можно выбрать маршрут для того, чтобы подняться на гору, а затем спуститься с неё? Как изменится ответ, если нельзя подниматься и спускаться по одной и той же дороге?

Решение:

5 · 5=25 способами можно выбрать маршрут для того, чтобы подняться на гору, а затем спуститься с неё.

5 · 4 =20 способами можно выбрать маршрут для того, чтобы подняться на гору, а затем спуститься с неё, если нельзя подниматься и спускаться по одной и той же дороге.

Заключение.

В данной работе мы рассмотрели решение задач с помощью графов, новые для нас понятия, такие как вершины, ребра, полный граф, изолированные вершины, связные и несвязные вершины, степень вершины и другие.

Были решены 10 задач с использованием теории графов. Мы решили гораздо больше задач, но в работу постарались включить самые разные и наиболее интересные.

В дальнейшем мы хотим продолжить данную работу и рассмотреть плоские графы, триангулированные графы, Эйлеровы графы, ориентированные графы, гамильтоновы циклы и пути в графах, а также доказать ряд теорем, связанных с графами.

Литература.

Теория графов - один из обширнейших разделов дискретной математики, широко применяется в решении экономических и управленческих задач, в программировании, химии, конструировании и изучении электрических цепей, коммуникации, психологии, психологии, социологии, лингвистике, других областях знаний. Теория графов систематически и последовательно изучает свойства графов, о которых можно сказать, что они состоят из множеств точек и множеств линий, отображающих связи между этими точками. Основателем теории графов считается Леонард Эйлер (1707-1882), решивший в 1736 году известную в то время задачу о кёнигсбергских мостах.

Графы строят для того, чтобы отобразить отношения на множествах . Пусть, например, множество A = {a 1 , a 2 , ... a n } - множество людей, а каждый элемент будет отображён в виде точки. Множество B = {b 1 , b 2 , ... b m } - множество связок (прямых, дуг, отрезков - пока не важно). На множестве A задано отношение знакомства между людьми из этого множества. Строим граф из точек и связок. Связки будут связывать пары людей, знакомых между собой. Естественно, число знакомых у одних людей может отличаться от числа знакомых у других людей, а некоторые вполне могут и не быть ни с кем знакомы (такие элементы будут точками, не соединёнными ни с одной другой). Вот и получился граф!

То, что мы сначала назвали "точками", следует называть вершинами графа, а то, что называли "связками" - рёбрами графа.

Теория графов не учитывает конкретную природу множеств A и B . Существует большое количество самых разных конкретных задач, при решении которых можно временно забыть о специфическом содержании множеств и их элементов. Эта специфика никак не сказывается на ходе решения задачи, независимо от её трудности! Например, при решении вопроса о том, можно ли из точки a добраться до точки e , двигаясь только по соединяющим точки линиям, неважно, имеем ли мы дело с людьми, городами, числами и т.д. Но, когда задача решена, мы получаем решение, верное для любого содержания, которое было смоделировано в виде графа. Не удивительно поэтому, что теория графов - один из самых востребованных инструментов при создании искусственного интеллекта: ведь искусственный интеллект может обсудить с собеседником и вопросы любви, и вопросы музыки или спорта, и вопросы решения различных задач, причем делает это без всякого перехода (переключения), без которого в подобных случаях не обойтись человеку.

А теперь строгие математические определения графа.

Определение 1. Графом называется система объектов произвольной природы (вершин) и связок (рёбер), соединяющих некоторые пары этих объектов.

Определение 2. Пусть V – (непустое) множество вершин, элементы v ∈V – вершины. Граф G = G (V ) с множеством вершин V есть некоторое cемейство пар вида: e = (a , b ) , где a ,b ∈V , указывающих, какие вершины остаются соединёнными. Каждая пара e = (a , b ) - ребро графа. Множество U - множество рёбер e графа. Вершины a и b – концевые точки ребра e .

Графы как структура данных. Широким применением теории графов в компьютерных науках и информационных технологиях обусловлено добавлением к вышеизложенным определениям понятия графа как структуры данных. В компьютерных науках и информационных технологиях граф определяется как нелинейная структура данных. Что же тогда - линейная структура данных и чем от них отличаются графы? Линейные структуры данных характеризуются тем, что связывают элементы отношениями типа "простого соседства". Линейными структурами данных являются, например, массивы, таблицы, списки, очереди, стеки, строки. В противоположность им нелинейные структуры данных - такие, в которых элементы располагаются на различных уровнях иерархии и подразделяются на три вида: исходные, порождённые и подобные. Итак, граф - нелинейная структура данных.

Слово граф греческого происхождения, от слов "пишу", "описываю". Из начала этой статьи известно, что именно описывает граф: описывает он отношения. То есть, любой граф описывает отношения. И наоборот: любое отношение можно описать в виде графа.

Основные понятия теории графов

Понятие инцидентности необходимо и при составлении алгоритмов решения многих практических задач с графами. Например, можно ознакомиться с программной реализацией обхода в глубину графа, представленного матрицей инцидентности . Идея проста: можно двигаться лишь через вершины, соединённые рёбрами. А уж если рёбрам приписаны какие-то значения ("весы", чаще всего в виде чисел, такие графы называются взвешенными или помеченными), то можно решать сложные прикладные задачи, некоторые из которых упомянуты в завершающем параграфе этого урока.

Классические задачи теории графов и их решения

Один из первых опубликованных примеров работ по теории графов и применения графов - работа о "задаче с Кёнигсбергскими мостами" (1736 г.), автором которой является выдающийся математик 18-го века Леонард Эйлер. В задаче даны река, острова, которые омываются этой рекой, и несколько мостов. Вопрос задачи: возможно ли, выйдя из некоторого пункта, пройти каждый мост только по одному разу и вернуться в начальный пункт? (рисунок ниже)

Задачу можно смоделировать следующим образом: к каждому участку суши прикрепляется одна точка, а две точки соединяются линией тогда и только тогда, когда соответствующие участки суши соединены мостом (рисунок ниже, соединительные линии начерчены пунктиром). Таким образом, построен граф.

Ответ Эйлера на вопрос задачи состоит в следующем. Если бы у этой задачи было положительное решение, то в получившемся графе существовал бы замкнутый путь, проходящий по рёбрам и содержащий каждое ребро только один раз. Если существует такой путь, то у каждой вершины должно быть только чётное число рёбер. Но в получившемся графе есть вершины, у которых нечётное число рёбер. Поэтому задача не имеет положительного решения.

По устоявшейся традиции эйлеровым графом называется граф, в котором можно обойти все вершины и при этом пройти одно ребро только один раз. В нём каждая вершина должна иметь только чётное число рёбер. Задача средней трудности на эйлеровы графы - в материале "Основные виды графов ".

В 1847 г. Кирхгоф разработал теорию деревьев для решения совместной системы линейных алгебраических уравнений, позволяющую найти значение силы тока в каждом проводнике (дуге) и в каждом контуре электрической цепи. Абстрагируясь от электрических схем и цепей, которые содержат сопротивления, конденсаторы, индуктивности и т.д., он рассматривал соответствующие комбинаторные структуры, содержащие только вершины и связи (рёбра или дуги), причём для связей не нужно учитывать, каким типам электрических элементов они соответствуют. Таким образом, Кирхгоф заменил каждую электрическую цепь соответствующим графом и показал, что для решения системы уравнений необязательно рассматривать в отдельности каждый цикл графа электрической цепи.

Кэли в 1858 г., занимаясь чисто практическими задачами органической химии, открыл важный класс графов, называемых деревьями. Он стремился перечислить изомеры насыщенных углеводородов, с данным числом атомов углерода. Кэли прежде всего сформулировал задачу абстрактно: найти число всех деревьев с p вершинами, каждое из которых имеет вершины со степенями 1 и 4. Ему не удалось сразу решить эту задачу, и он стал изменять её формулировку таким образом, чтобы можно было решить новую задачу о перечислении:

• корневых деревьев (в которых выделена одна из вершин);
• всех деревьев;
• деревьев, у которых степени вершин не превышают 4;
• деревьев, у которых степени вершин равны 1 и 4 (постановка задачи из химии).

Задачи с графами для закрепления основных понятий

Пример 1. Пусть A - множество чисел 1, 2, 3 : A = {1, 2, 3} . Построить граф для отображения отношения "

Решение. Очевидно, что числа 1, 2, 3 следует представить в виде вершин графа. Тогда каждую пару вершин должно соединять одно ребро. Решая эту задачу, мы пришли к таким основным понятиям теории графов, как ориентированные и неориентированные графы . Неориентированные графы - такие, рёбра которых не имели направления. Или, как говорят ещё чаще, порядок двух концов ребра не существенен. В самом деле, граф, построенный в самом начале этого урока и отображавший отношение знакомства между людьми, не нуждается в направлениях рёбер, так как можно утверждать, что "человек номер 1" знаком с "человеком номер 2" в той же мере, как и "человек номер 2" с "человеком номер 1". В нашем же нынешнем примере одно число меньше другого, но не наоборот. Поэтому соответствующее ребро графа должно иметь направление, показывающее, какое всё же число меньше другого. То есть, порядок концов ребра существенен. Такой граф (с рёбрами, имеющими направление) называется ориентированным графом или орграфом.

Итак, в нашем множестве A число 1 меньше числа 2 и числа 3, а число 2 меньше числа 3. Этот факт отображаем рёбрами, имеющими направление, что показывается стрелками. Получаем следующий граф:

Пример 2. Пусть A - множество чисел 2, 4, 6, 14 : A = {2, 4, 6, 14} . Постоить граф для отображения отношения "делится нацело на" на этом множестве.

Решение. В этом примере часть рёбер будут иметь направление, а некоторые не будут, то есть строим смешанный граф . Перечислим отношения на множестве: 4 делится нацело на 2, 6 делится нацело на 2, 14 делится нацело на 2, и ещё каждое число из этого множества делится нацело на само себя. Это отношение, то есть когда число делится нацело на само себя, будем отображать в виде рёбер, которые соединяют вершину саму с собой. Такие рёбра называются петлями . В данном случае нет необходимости давать направление петле. Таким образом, в нашем примере три обычных направленных ребра и четыре петли. Получаем следующий граф:

Пример 3. Пусть даны множества A = {α, β, γ} и B = {a, b, c} . Построить граф для отображения отношения "декартово произведение множеств".

Решение. Как известно из определения декартова произведения множеств , в нём нет упорядоченных наборов из элементов одного и того же множества. То есть в нашем примере нельзя соединять греческие буквы с греческими и латинские с латинскими. Этот факт отображается в виде двудольного графа , то есть такого, в котором вершины разделены на две части так, что вершины, принадлежащие одной и той же части, не соединены между собой. Получаем следующий граф:

Пример 4. В агентстве по недвижимости работают менеджеры Игорь, Сергей и Пётр. Обслуживаются объекты О1, О2, О3, О4, О5, О6, О7, О8. Построить граф для отображения отношений "Игорь работает с объектами О4, О7", "Сергей работает с объектами О1, О2, О3, О5, О6", "Пётр работает с объектом О8".

Решение. Граф, отображающий данные отношения, будет так же двудольным, так как менеджер не работает с менеджером и объект не работает с объектом. Однако, в отличии от предыдущего примера, граф будет ориентированным. В самом деле, например, Игорь работает с объектом О4, но не объект О4 работает с Игорем. Часто, когда такое свойство отношений очевидно, необходимость давать рёбрам направления может показаться "математической тупостью". Но всё же, и это вытекает из строгого характера математики, если отношение носит односторонний характер, то давать направления рёбрам нужно. В приложениях отношений эта строгость окупается, например, в программах, предназначенных для планирования, где тоже применяются графы и маршрут по вершинам и рёбрам должен проходить строго в заданном направлении. Итак, получаем следующий ориентированный двудольный граф:

И вновь к примерам с числами.

Пример 5. Пусть задано множество C = {2, 3, 5, 6, 15, 18} . Построить граф, реализующий отношение, определяющее все пары чисел a и b из множества C , у которых при делении второго элемента на первый получаем частное, которое является целым числом больше 1.

Решение. Граф, отображающий данные отношения, будет ориентированным, так как в условии есть упоминание о втором и первом элементе, то есть, ребро будет направлено от первого элемента ко второму. Из этого однозначно понятно, какой элемент является перым, а какой вторым. Ещё добавим терминологии: ориентированные рёбра принято называть дугами. В нашем графе будет 7 дуг: e 1 = (3, 15) , e 2 = (3, 18) , e 3 = (5, 15) , e 4 = (3, 6) , e 5 = (2, 18) , e 6 = (6, 18) , e 7 = (2, 6) . В этом примере рёбра (дуги) графа просто пронумерованы, но порядковые номера - не единственное, что можно приписать дуге. Дуге можно приписать также весы означающие, например, стоимость пересылки груза из одного пункта в другой. Но с весами дуг мы познакомимся позже и подробнее. Итак, получаем следующий ориентированный граф:

Как мы уже знаем из теоретической вступительной части, теория графов не учитывает специфическую природу множеств и с помощью одного и того же графа можно задать отношения на множествах с самым разным содержанием. То есть, от этого самого содержания при моделировании задачи можно абстрагироваться. Перейдём к примерам, иллюстрирующим это замечательное свойство теории графов.

Пример 6. На кусочке шахматной доски размером 3 Х 3 размещены два белых коня и два чёрных коня так, как показано на рисунке ниже.

Можно ли переместить коней в состояние, которое изображено на следующем рисунке, не забывая, что две фигуры не могут находиться на одной клетке?

Решение. В конструируемом графе пары вершин будут связаны отношением "ход коня". То есть, одна вершина - та, из которой конь ушёл, а другая - та, в которую пришёл, а промежуточная клетка буквы "г" будет за пределами этого отношения. Получаем следующий граф:

И всё же конструкция получилась громозкой. В ней видны клетки шахматной доски, а многие рёбра графа пересекаются. Нельзя ли абстрагироваться от физического вида шахматной доски и вообразить отношения проще? Оказывается, можно. В новом графе соседними вершинами будут те, которые связаны отношением "ход коня", а не соседние по шахматной доске (рисунок ниже).

Теперь легко увидеть, что ответ на вопрос этой задачи - отрицательный. В начальном состоянии между двумя белыми конями нет чёрного коня, а в конечном состоянии этот чёрный конь должен быть. Рёбра графа размещены так, что два находящихся рядом коня не могут перепрыгнуть друг через друга.

Пример 7. Задача о волке, козе и капусте. На одном берегу реки находятся человек (Ч), лодка, волк (В), коза (Кз) и капуста (Кп). В лодке одновременно могут находиться человек и не более одного из перевозимых объектов. Человек должен перевезти на другой берег все объекты, соблюдая условие: нельзя оставлять без присмотра волка вместе с козой и козу вместе с капустой.

Решение. В конструируемом графе вершины - конфигурации, а рёбра - отношение "связь одним плаваньем лодки" между конфигурациями. Конфигурация означает расположение объектов на первоначальном берегу и на противоположном берегу. Каждая конфигурация отображается в виде (A |B ) , где A - объекты, находящиеся на первоначальном берегу, а B - объекты, находящиеся на противоположном берегу. Первоначальная конфигурация, таким образом, - (ЧВКпКз | ) . Например, после переправки на другой берег козы конфигурация будет (ВКп |ЧКз ) . Конечная конфигурация всегда ( |ЧВКпКз ) . Теперь можем построить граф, зная уже, что означают вершины и рёбра:

Разместим вершины графа так, чтобы рёбра не пересекались, а соседними были вершины, которые связаны отношением на графе. Тогда увидеть отношения будет намного проще (для увеличения рисунка щёлкните по нему левой кнопкой мыши):

Как видим, существуют два различных непрерывных маршрута из начальной конфигурации в конечную. Поэтому задача имеет два различных решения (и оба правильные).

Теория графов и важнейшие современные прикладные задачи

На основе теории графов разработаны методы решения прикладных задач, в которых в виде графов моделируются весьма сложные системы. В этих моделях узлы содержат отдельные компоненты, а рёбра отображают связи между компонентами. Обычно для моделирования транспортных сетей, систем массового обслуживания, в сетевом планировании используются взвешенные графы. Мы о них уже говорили, это графы, в которым дугам присвоены весы.

Графы-деревья применяются, например, для построения деревьев решений (служат для анализа рисков, анализа возможных приобретений и убытков в условиях неопределённостей). С применением теории графов разработаны и другие многочисленные математические модели для решения задач в конкретных предметных областях.

Графы и задача о потоках

Постановка задачи. Имеется система водопроводных труб, представленная графом на рисунке ниже.

Каждая дуга графа отображает трубу. Числа над дугами (весы) - пропускная способность труб. Узлы - места соединения труб. Вода течёт по трубам только в одном направлении. Узел S - источник воды, узел T - сток. Требуется максимизировать объём воды, протекающей от источника к стоку.

Для решения задачи о потоках можно воспользоваться методом Форда-Фулкерсона. Идея метода: поиск максимального потока производится по шагам. В начале работы алгоритма поток полагается равным нулю. На каждом последующем шаге значение потока увеличивается, для чего ищется дополняющий путь, по которому поступает дополнительный поток. Эти шаги повторяются до тех пор, пока существуют дополнительные пути. Задача успешно применяется в различных распределённых системах: система электоснабжения, коммуникационная сеть, система железных дорог и других.

Графы и сетевое планирование

В задачах планирования сложных процессов, состоящих из множества работ, часть из которых выполняется параллельно, а часть последовательно, широкое применение получили взвешенные графы, известные под названием сети ПЕРТ (PERT).

PERT - Program (Project) Evaluation and Review Technique - техника оценки и анализа программ (проектов), которая используется при управлении проектами.

Сеть ПЕРТ - взвешенный ациклический ориентированный граф, в котором каждая дуга представляет работу (действие, операцию), а вес дуги - время, требуемое для её выполнения.

Если в сети есть дуги (a , b ) и (b , c ) , то работа, представленная дугой (a , b ) , должна быть завершена до начала выполнения работы, представленной дугой (b , c ) . Каждая вершина (v i ) представляет момент времени, к которому должны быть завершены все работы, задаваемые дугами, оканчивающимися в вершине (v i ) .

В таком графе:

• одна вершина, не имеющая предшественников, определяет момент времени начала выполнения работ;
• одна вершина, не имеющая последователей, соответствует моменту времени завершения комплекса работ.

Путь максимальной длины между этими вершинами графа (из начала в конец процесса выполнения работ), называется критическим путём. Для сокращения времени выполнения всего комплекса работ необходимо найти работы, лежащие на критическом пути, и уменьшить их продолжительность за счёт, например, привлечения дополнительных исполнителей, механизмов, новых технологий.

Весь блок "Теория графов"